针对您提到的顾客在店里买到过期产品并要求赔偿的情况，这涉及到消费者权益保护的问题。根据《中华人民共和国消费者权益保护法》的相关规定，经营者提供商品有欺诈行为的，消费者有权要求增加赔偿。具体来说，《消费者权益保护法》第五十五条规定，经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，赔偿金额为购买商品价款或服务费用的三倍，不足五百元的按五百元赔偿。因此，在处理此事时，您应依据此法律规定来与顾客协商赔偿事宜。
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从法律角度，为妥善处理此事并避免法律风险，建议如下：一是立即停止销售过期产品，确保店内所有商品均在有效期内；二是积极与顾客沟通，了解顾客需求，按照《消费者权益保护法》规定给予赔偿或提供退货、换货服务；三是加强内部管理，建立商品检查制度，定期检查商品有效期，防止类似事件再次发生。